代数多様体上の連接層の導来圏とBridgeland安定性条件の研究

研究を始めたきっかけ

小学生の頃から算数・数学が好きでした。数や図形についてのいろいろな計算だけでなく、関数とグラフ、代数方程式と図形など、それらのしくみや関係に面白さを感じました。また初等幾何（ユークリッド幾何）では、いいアイデアを思いついて、問題が美しく解けたときの感動や達成感はいまでも記憶に残っています。

大学進学を考える時期にはすでに数学科で学びたいと思っていました。大学の数学科では、代数学、解析学、幾何学などを学びますが、その中でも代数学に興味を持ちました。特に可換代数学とそれを基礎にした代数幾何学の美しさに惹かれ、代数幾何学を専門とすることを選びました。

代数幾何学ではまず代数多様体の射影空間への埋め込みについて研究し、代数曲線や代数曲面の高次の埋め込みの構造の解明に挑戦し、ほぼ満足できる結果を得て、それが学位論文になりました。その後、2000年代に入り、数理物理学との関係から代数多様体上の連接層の導来圏に興味を持ち、マックス・プランク数学研究所に１年間滞在したころから三角圏や導来圏のBridgeland安定性条件の研究を始め、現在に至ります。

研究概要

可換代数学は整数や多項式の性質を一般化することに始まり、代数幾何学の基礎としても研究されています。代数幾何学は、小学校から中学校で学ぶ数や多項式の計算，比例や２次関数，1次方程式や2次方程式、それらの連立方程式、そして高等学校で学ぶ解析幾何学（あるいは座標幾何学）を、変数の個数と連立する方程式の個数を増やすことにより定まる図形である代数多様体を研究する数学の領域です。中学校・高等学校の図形分野で学ぶ直線や、円、楕円、放物線、双曲線などの２次曲線（あるいは円錐曲線）は代数方程式で定まる図形なので、すべて代数多様体です。

これまで２つの問題に取り組んできました。１つは代数多様体がどのように射影空間に埋め込むことができるのかという問題についての研究です。もう１つは三角圏や代数多様体上の連接層の導来圏のBridgeland安定性条件に関する研究です。Bridgeland安定性条件の研究ではBogomolov-Gieseker型の不等式についての研究が重要だと考えられ、その不等式に関する予想とともに、最適な不等式を見つけることに取り組んでいます。

連携できるポイント

代数学・代数幾何学の研究の結果、代数曲線・代数曲面の高次の埋め込みの構造の解明という成果を得た。自治体や企業と連携し、代数学・代数幾何学の指導を行うことができる。

提供できるシーズまたは支援できる分野

• 代数学・代数幾何学の指導
• 代数学・代数幾何学の教材開発
• 代数学・代数幾何学に関する講演